每日一题[2597]数值估计

已知函数 $f(x)=x^2 {\rm e}^x-m(x+1) \ln x$．

1、若 $m \leqslant 0$，求函数 $f(x)$ 的单调区间．

2、若 $m \in(0,2 {\rm e}]$，证明：函数 $f(x)$ 无零点．

解析

1、函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb R^+$，若 $m\leqslant 0$，则函数 $f(x)$ 的单调递增区间为 $(0,+\infty)$，没有单调递减区间．

2、根据题意，方程 $f(x)=0$ 即 $$m=\dfrac{x^2{\rm e}^x}{(x+1)\ln x},$$ 设方程右侧函数为 $g(x)$，若 $m>0$，则 $x\in(0,1)$ 时 $g(x)<0$，于是该方程在 $(0,1)$ 上没有实数解．接下来考虑 $x\in(1,+\infty)$ 的情形．此时 $g(x)$ 的导函数 $$g'(x)=\dfrac{{\rm e}^xx(2+2x+x^2)\left(\ln x-\dfrac{1+x}{2+2x+x^2}\right)}{(1+x)^2\ln^2x},$$ 设 $h(x)=\ln x-\dfrac{1+x}{2+2x+x^2}$，则 $$h(x)=\ln x-\dfrac{1}{1+x+\dfrac{1}{1+x}},$$ 于是 $h(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递增，而 $$h\left(\dfrac 43\right)=\ln \dfrac 43-\dfrac{21}{58}<\dfrac 12\left(\dfrac 43-\dfrac 34\right)-\dfrac{21}{58}=\dfrac{7}{24}-\dfrac{21}{58}=\dfrac72\left(\dfrac{1}{12}-\dfrac{3}{29}\right)<0,$$ 且 $$h\left(\dfrac 32\right)=\ln\dfrac 32-\dfrac{10}{29}>\dfrac{2(\frac 32-1)}{\frac32+1}-\dfrac{10}{29}=\dfrac 25-\dfrac{10}{29}>0,$$ 因此 $h(x)$ 在 $\left(\dfrac 43,\dfrac32\right)$ 上有唯一零点，设为 $x_0$，函数 $g(x)$ 的最小值为 $$\begin{split} M&=g(x_0)\\ &=\dfrac{x_0^2{\rm e}^{x_0}}{(x_0+1)\ln x_0}=\dfrac{x_0^2{\rm e}^{x_0}}{\dfrac{(1+x_0)^2}{2+2x_0+x_0^2}}\\ &=\left(1+\dfrac{1}{(1+x_0)^2}\right)x_0^2{\rm e}^{x_0}\\ &>\left(1+\dfrac{1}{\left(1+\frac 32\right)^2}\right)\left(\dfrac43\right)^2{\rm e}^{\frac 43}\\ &=\dfrac{464}{225}\cdot {\rm e}^{\frac 43}\\ &>2{\rm e},\end{split}$$ 因此命题得证．

备注    事实上，当 $x>1$ 时，由 $g(x)>\dfrac{x^2}{\ln x}$ 而 $\dfrac{x^2}{\ln x}$ 的最小值为 $2{\rm e}$ 即得．