每日一题[2478]做差角

在 $\triangle A B C$ 中，$A B=1$，$A C=2$，$B-C=\dfrac{2 \mathrm{\pi}}{3}$，则 $\triangle A B C$ 的面积为_______．

答案    $\dfrac{3 \sqrt{3}}{14}$．

解析    如图，在 $AC$ 上取点 $D$，使 $BD=CD$，则由 $B-C=\dfrac{2\pi}3$ 可得 $\angle ABD=\dfrac{2\pi}3$．

设 $BD=CD=x$，则在 $\triangle ABD$ 中应用余弦定理可得

$$AD^2=AB^2+BD^2-2\cdot AB\cdot BD\cdot \cos\angle ABD,$$ 即 $$(2-x)^2=1+x^2+x\iff x=\dfrac 35,$$ 因此 $$[\triangle ABC]=\dfrac{10}7[\triangle ABD]=\dfrac{10}7\cdot \dfrac 12\cdot AB\cdot BD\cdot \sin\angle ABD=\dfrac{3\sqrt 3}{14}.$$