每日一题[2477]推理

设集合 $A=\{1,2, m\}$,其中 $m$ 为实数.令 $B=\left\{a^{2} \mid a \in A\right\}$,$C=A \cup B$.若 $C$ 的所有元素之和为 $6$,则 $C$ 的所有元素之积为_______.

答案    $-8$.

解析    根据题意,$1,2,4,m,m^2$(允许有重复)为 $C$ 的全部可能元素.注意到,当 $m$ 为实数时,有\[1+2+4+m+m^{2}\geqslant 1+2+4+\left(-\dfrac14\right)>6,\]且\[1+2+4+m^{2}>6,\]故 $C=\{1,2,4, m\}$,且 $1+2+4+m=6$.于是 $m=-1$(经检验符合题意),此时 $C$ 的所有元素之积为 $1 \cdot 2\cdot 4 \cdot (-1)=-8$.

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