每日一题[2476]必要条件探路

设 $a, b$ 为实数，函数 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x$．若存在三个实数 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 满足 $x_{1}+1 \leqslant x_{2} \leqslant x_{3}-1$，且 $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)=f\left(x_{3}\right)$，求 $|a|+2|b|$ 的最小值．

答案    $\sqrt 3$．

解析    根据题意，有 $$x_2-x_1\geqslant 1,\quad x_3-x_2\geqslant 1,$$ 而根据韦达定理，有 $$a=x_1+x_2+x_3,\quad b=x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1,$$ 因此 $$(x_2-x_1)^2+(x_3-x_2)^2+(x_1-x_3)^2=2a^2-6b,$$ 从而 $$2a^2-6b\geqslant 1^2+1^2+2^2=6,$$ 因此 $$|a|+2|b|\geqslant \sqrt{3(b+1)}+2|b|.$$ 当 $b\geqslant 0$ 时，有 $$\sqrt{3(b+1)}+2|b|\geqslant \sqrt 3,$$ 等号当 $b=0$ 时取得．此时 $a=\sqrt 3$，进而 $$(x_1,x_2,x_3)=\left(\dfrac{1}{\sqrt 3}-1,\dfrac{1}{\sqrt 3},\dfrac{1}{\sqrt 3}+1\right).$$ 当 $-1\leqslant b<0$ 时，设 $\sqrt{b+1}=t$，则 $b=t^2-1$，其中 $t\in [0,1)$，此时 $$\sqrt{3(b+1)}+2|b|=\sqrt 3t+2(1-t^2)>\sqrt 3 t+\sqrt 3(1-t^2)=\sqrt 3+\sqrt 3t(1-t)\geqslant \sqrt 3.$$ 综上所述，$|a|+2|b|$ 的最小值为 $\sqrt 3$．