题拍拍征解题[45]

《题拍拍征解题[45]》有一条回应

1. 弃天帝说：

   2025年1月24日 上午12:49

   对等式进行化简
   已知$\frac{\sin(a + b)^{\circ}}{\sin a^{\circ}}=\frac{\sin(a + 2b)^{\circ}}{\sin b^{\circ}}$，交叉相乘可得$\sin(a + b)^{\circ}\sin b^{\circ}=\sin(a + 2b)^{\circ}\sin a^{\circ}$。
   根据三角函数的积化和差公式$\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)]$，将上式进行转化：
   $$\begin{align*} \frac{1}{2}[\cos((a + b) - b) - \cos((a + b) + b)]&=\frac{1}{2}[\cos((a + 2b) - a) - \cos((a + 2b) + a)]\\ \cos a^{\circ} - \cos(a + 2b)^{\circ}&=\cos 2b^{\circ} - \cos(2a + 2b)^{\circ}\\ \cos(2a + 2b)^{\circ} - \cos(a + 2b)^{\circ}&=\cos 2b^{\circ} - \cos a^{\circ} \end{align*}$$
   再根据和差化积公式$\cos\alpha - \cos\beta = - 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha - \beta}{2}$进一步化简：
   $$\begin{align*} -2\sin\frac{(2a + 2b)+(a + 2b)}{2}\sin\frac{(2a + 2b)-(a + 2b)}{2}&=-2\sin\frac{2b + a}{2}\sin\frac{2b - a}{2}\\ -2\sin\frac{3a + 4b}{2}\sin\frac{a}{2}&=-2\sin\frac{a + 2b}{2}\sin\frac{2b - a}{2}\\ \sin\frac{3a + 4b}{2}\sin\frac{a}{2}&=\sin\frac{a + 2b}{2}\sin\frac{2b - a}{2} \end{align*}$$
   分情况讨论
   - **情况一：$\sin\frac{a}{2}=0$或$\sin\frac{2b - a}{2}=0$**
   - 若$\sin\frac{a}{2}=0$，因为$a\in(0,180)$且$a\in N^*$，则$\frac{a}{2}=k\cdot180^{\circ}$（$k\in Z$），在给定范围内无解。
   - 若$\sin\frac{2b - a}{2}=0$，则$\frac{2b - a}{2}=k\cdot180^{\circ}$（$k\in Z$），即$2b - a = 360k$。
   由于$a,b\in(0,180)$且$a,b\in N^*$，当$k = 0$时，$2b - a = 0$，即$a = 2b$。
   因为$a\in(0,180)$，$b\in(0,180)$，所以$0<2b<180$，$0<b<90$，$b$可以取$1$到$89$这$89$个正整数，此时对应的$a = 2b$也满足条件，有$89$组解。
   - **情况二：$\sin\frac{3a + 4b}{2}=\sin\frac{a + 2b}{2}$**
   根据正弦函数的性质$\sin\alpha=\sin\beta$，则$\alpha=\beta + 2k\pi$或$\alpha=\pi - \beta + 2k\pi$（$k\in Z$）。
   - 当$\frac{3a + 4b}{2}=\frac{a + 2b}{2}+360k$（$k\in Z$）时，化简可得$a = 360k$，在$a\in(0,180)$范围内无解。
   - 当$\frac{3a + 4b}{2}=180-\frac{a + 2b}{2}+360k$（$k\in Z$）时，化简可得$2a + 3b = 180 + 360k$。
   因为$a,b\in(0,180)$且$a,b\in N^*$，当$k = 0$时，$2a + 3b = 180$，则$a = 90 - \frac{3b}{2}$。
   由$0<90 - \frac{3b}{2}<180$且$0<b<180$，可得$0 < b < 60$，且$b$是$2$的倍数，$b$可以取$2,4,\cdots,58$，共$29$个值，此时对应的$a$也满足条件，有$29$组解。
   计算正整数解的个数
   将两种情况的解的个数相加，可得正整数解$(a,b)$的个数为$89 + 29 = 118$。

   综上，答案为$118$。

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