每日一题[2365]独立性

有 $6$ 个相同的球，分别标有数字 $1,2,3,4,5,6$，从中有放回地随机取两次，每次取 $1$ 个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是 $1$”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 $2$”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是 $8$”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 $7$”，则（       ）

A．甲与丙相互独立

B．甲与丁相互独立

C．乙与丙相互独立

D．丙与丁相互独立

答案    B．

解析    设 $A,B,C,D$ 分别表示事件甲、乙、丙、丁，如图．

选项 A，因为 $P(AC)\ne P(A)P(C)$，所以甲与丙相互不独立．

选项 B，因为 $P(AD)=P(A)P(D)$，所以甲与丁相互独立．

选项 C，因为 $P(BC)\ne P(B)P(C)$，所以乙与丙相互不独立．

选项 D，因为 $P(CD)\ne P(C)P(D)$，所以丙与丁相互不独立．

备注    事件之间的相互独立性，未必能够从直觉上加以判断．