每日一题[2319]逐步靠拢

已知函数 $f(x)=\left(\dfrac 13\right)^x-\left(\dfrac 15\right)^x$．对任意 $x_1,x_2\in [1,+\infty)$，且 $x_1<x_2$．

1、求证：$f(x_1)>f(x_2)$．

2、求证：$f\left(\sqrt{x_1x_2}\right)>\sqrt{f(x_1)f(x_2)}$．

解析

1、根据题意，函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=\dfrac{\ln 5}{5^x}-\dfrac{\ln 3}{3^x},$$ 注意到 $3^5>5^3$，从而 $$\dfrac{\ln 5}{\ln 3}<\dfrac 53\leqslant \left(\dfrac 53\right)^x<\dfrac{5^x}{3^x},$$ 因此 $f'(x)<0$，函数 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调递减，从而 $f(x_1)>f(x_2)$．

2、考虑到

$$\begin{split} f(x_1)f(x_2)&=\left(\left(\dfrac 13\right)^{x_1}-\left(\dfrac 15\right)^{x_1}\right)\left(\left(\dfrac 13\right)^{x_2}-\left(\dfrac 15\right)^{x_2}\right)\\ &=\left(\dfrac 13\right)^{x_1+x_2}+\left(\dfrac 15\right)^{x_1+x_2}-\left(\dfrac 13\right)^{x_1}\left(\dfrac 15\right)^{x_2}-\left(\dfrac 13\right)^{x_2}\left(\dfrac 15\right)^{x_1}\\ &\leqslant \left(\dfrac 13\right)^{x_1+x_2}+\left(\dfrac 15\right)^{x_1+x_2}-2\left(\dfrac 13\right)^{\frac{x_1+x_2}2}\left(\dfrac 15\right)^{\frac{x_1+x_2}2}\\ &=\left(\left(\dfrac 13\right)^{\frac{x_1+x_2}2}-\left(\dfrac 15\right)^{\frac{x_1+x_2}2}\right)^2\\ &=f^2\left(\dfrac{x_1+x_2}2\right),\end{split}$$ 而根据第 $(1)$ 小题的结果，有 $$\sqrt{x_1x_2}<\dfrac{x_1+x_2}2\implies f\left(\sqrt{x_1x_2}\right)>f\left(\dfrac{x_1+x_2}2\right),$$ 因此原不等式得证．