每日一题[2318]几何化简

已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{20}+\dfrac{y^2}{16}=1$ 与 $x$ 轴交于点 $A,B$，过椭圆上动点 $M$（$M$ 不于 $A,B$ 重合）作椭圆的切线 $l$，过点 $A,B$ 分别作 $x$ 轴的垂线，与切线 $l$ 分别交于点 $C,D$．直线 $CB,AD$ 交于点 $Q$，$Q$ 关于点 $M$ 的对称点为 $P$，求点 $P$ 的轨迹方程．

答案    $\dfrac{x^2}{20}+\dfrac{y^2}{16}=1$．

解析    如图，利用伸缩变换 $x=x'$，$y=\dfrac bay'$ 将椭圆 $E$ 变为圆

$$x'^2+y'^2=a^2.$$

设 $MH\perp AB$ 于 $H$，$AD$ 与 $MH$ 相交于点 $Q_1$，则

$$\dfrac{MQ_1}{Q_1H}=\dfrac{AC\cdot \dfrac{DQ_1}{DA}}{BD\cdot \dfrac{AQ_1}{AD}}=\dfrac{AC}{BD}\cdot \dfrac{DQ_1}{AQ_1}=\dfrac{AC}{BD}\cdot \dfrac{DM}{MC}=1,$$ 从而 $Q_1$ 平分 $MH$，进而可得 $Q_1$ 为 $AD$ 与 $BC$ 的交点 $Q$，从而 $PH\perp AB$，且 $\overrightarrow{HP}=\dfrac 32\overrightarrow{HM}$，因此点 $P$ 的轨迹方程为 $$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{\dfrac 94b^2}=1,$$ 在本题中 $a^2=20$，$b^2=16$，从而所求 $P$ 点的轨迹方程为 $\dfrac{x^2}{20}+\dfrac{y^2}{16}=1$．