在三棱台 ABC−DEF 中，AB⊥AC，AB=2DE=2，AC=2√2，CF=2，且 CF⊥ABC，设 P,Q,R 分别为棱 AC,FC,BC 的中点．
1、证明：BCD⊥PQR．
2、求二面角 E−BD−C 的正弦值．
解析
1、如图．
由于 CF⊥ABC，于是 ACFD⊥ABC，又 AB⊥AC，于是 AB⊥ACFD，而 PR∥AB，因此 RP⊥ACFD，进而 PR⊥CD．在平面 ACFD 中可得 PQ⊥CD，因此可得 CD⊥PQR，从而 BCD⊥PQR．
2、建立空间直角坐标系 P−ARD，则有{E(0,1,2),B(√2,2,0),D(0,0,2),C(−√2,0,0),⟹{→EB=(√2,1,−2),→BD=(−√2,−2,2),→DC=(−√2,0,−2),⟹{→nEBD=(−2,0,−√2),→nBDC=(4,−4√2,−2√2),
因此所求二面角 θ 的余弦值cosθ=→nEBD⋅→nBDC|→nEBD|⋅|→nBDC|=−4√6⋅√56=−1√21,
从而所求正弦值为 sinθ=2√10521．