每日一题[2220]三项式定理

$\left(x+\dfrac 1x-1\right)^5\cdot \left(x^2+1\right)$ 的展开式中的常数项为_______.

答案    $-81$.

解析    记\[T(m,n,p)=\dfrac{5!}{m!n!p!}x^{m}\left(\dfrac 1x\right)^n(-1)^p=\dfrac{(-1)^p\cdot 5!}{m!n!p!}x^{m-n},\]则所求常数项为\[\begin{split} c&=T(0,2,3)+T(1,3,1)+T(0,0,5)+T(1,1,3)+T(2,2,1)\\ &=(-10)+(-20)+(-1)+(-20)+(-30)\\ &=-81.\end{split}\]

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