每日一题[2158]展开

已知 $z_1,z_2,\cdots,z_{673}$ 是不同的复数，多项式

$$(x-z_1)^3(x-z_2)^3\cdots(x-z_{673})^3=x^{2019}+20x^{2018}+19x^{2017}+g(x),$$ 其中 $g(x)$ 是不超过 $2016$ 次的复系数多项式．设 $\left|\displaystyle\sum_{1 \leqslant j<k \leqslant 673} z_{j} z_{k}\right|$ 的最简分数表示为 $\dfrac mn$，则 $m+n=$_______．

答案    $352$．

解析    设 $a,b$ 满足

$$(x-z_1)(x-z_2)(x-z_3)\cdots(x-z_{673})=x^{673}+ax^{672}+bx^{671}+\cdots,$$ 则 $$\left(x^{673}+ax^{672}+bx^{671}+\cdots\right)^3=x^{2019}+20 x^{2018}+19 x^{2017}+\cdots,$$ 比较 $x^{2018}$ 和 $x^{2017}$ 的系数，可得 $$\begin{cases} 3a=20,\\ 3a^2+3b=19,\end{cases}\iff \begin{cases} a=\dfrac{20}3,\\ b=-\dfrac{343}9,\end{cases}$$ 根据韦达定理，有 $$\left|\sum_{1 \leqslant j<k \leqslant 673} z_{j} z_{k}\right|=|b|=\dfrac{343}9,$$ 于是 $m+n=343+9=352$．