每日一题[2129]维恩图法

在一次竞赛中出 $A,B,C$ 三道题．

① 在所有参赛学生中共有 $30$ 人至少解出一道题；

② 仅对一题的学生中，解出 $C$ 题的人数占一半；

③ 解出 $A$ 题的学生人数等于仅解出 $B$ 题的学生人数；

④ 仅做对 $AB$ 的人数等于仅做对 $BC$ 的人数；

⑤ 仅做对 $A$ 的人数等于 $4$；

⑥ 同时仅做对 $AC$ 的人数是同时仅做对 $AB$ 人数的一半． 则同时解出 $ABC$ 的学生人数为_______．

答案    D．

解析  设只解出 $A,B,C$ 的人数分别为 $a,b,c$，同时解出 $AB,BC,CA$ 的人数分别为 $z,x,y$，同时解出 $ABC$ 的人数为 $w$，则\[\begin{cases} a+b+c+x+y+z+w=30,\\ c=a+b,\\ a+z+y+w=b,\\ z=x,\\ a=4,\\ 2y=x,\end{cases}\iff \begin{cases} a=4,\\ b=\dfrac{26-x}3,\\ c=\dfrac{38-x}3,\\ y=\dfrac 12x,\\ z=x,\\ w=\dfrac{28-11x}6,\end{cases}\]于是 $x=2$，且 $w=1$，因此同时解出 $ABC$ 的学生人数为 $1$．