已知平面向量 →a,→b,→c 满足 |→b|⋅|→c|=1，|3→a−→b−→c|=|→a⋅→b|⋅|→c|，则 −3|→a|2+2|→b|2+|→c|2 的最小值是[[nn]]；此时 |→c|=_______．
答案 √5−32；4√5
解析 设 |→b|=x，|→c|=1x，则3|→a|−|→b|−|→c|⩽|3→a−→b−→c|=|→a⋅→b|⋅|→c|⩽|→a|⋅|→b|⋅|→c|,
于是3|→a|−x−1x⩽|→a|⟹|→a|⩽12(x+1x),
从而−3|→a|2+2|→b|2+|→c|2⩾−34(x+1x)2+2x2+1x2=54x2+14x2−32⩾√5−32,
等号当且仅当 →a,→b,→c 同向且模长分别为 12(4√5+14√5),14√5,4√5 时取得，因此所求最小值为 √5−32．此时 |→c|=4√5．