每日一题[2106]四通八达

当函数 $f(x)=\dfrac{ax^3-x^2+4a}{{\rm e}^x-1}$ 的图象经过的象限个数最多时，实数 $a$ 的取值范围_______．

答案  $\left(0,\dfrac 13\right)$．

解析    按 $a$ 的正负讨论．

情形一    $a>0$．此时

$$\begin{array}{c|cccc}\hline x\to& -\infty&0^-&0^+&+\infty\\ \hline f(x)\to &+\infty&-\infty&+\infty&+0\\ \hline \end{array}$$ 因此函数 $f(x)$ 的图象必然过第二、三象限．考虑函数 $g(x)=ax^3-x^2+4a$ 在 $(0,+\infty)$ 上的零点情况，方程 $$ax^3-x^2+4a=0\iff a=x+\dfrac 4{x^2}=\dfrac 1a,$$ 而 $$x+\dfrac 4{x^2}=\dfrac x2+\dfrac x2+\dfrac 4{x^2}\geqslant 3,$$ 等号当 $x=2$ 时取得，从而当 $a\in\left(0,\dfrac 13\right)$ 时，$g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有 $2$ 个零点；当 $a=\dfrac 13$ 时，函数 $g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 有唯一零点 $x=2$；当 $a\in\left(\dfrac13,+\infty\right)$ 时，函数 $g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上没有零点．因此当 $a\in\left(0,\dfrac 13\right)$ 时，$f(x)$ 的图象经过四个象限．

情形二     $a=0$．此时 $f(x)=\dfrac{-x^2}{{\rm e}^x-1}$ 只经过第二、四象限．

情形三     $a<0$．此时

$$\begin{array}{c|cccc}\hline x\to& -\infty&0^-&0^+&+\infty\\ \hline f(x)\to &-\infty&+\infty&-\infty&-0\\ \hline \end{array}$$ 且当 $x>0$ 时，有 $$ax^3-x^2+4a<0,$$ 于是函数 $f(x)$ 的图象在第二、三、四象限．

综上所述实数 $a$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac 13\right)$．