每日一题[2102]独立事件

一个正八面体，八个面分别标以数字 $1$ 到 $8$，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触到的面上的数字，得到样本空间 $\Omega=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$．构造恰当的事件 $A,B,C$，使得

$$P(ABC)=P(A)\cdot P(B)\cdot P(C),$$ 但不满足 $A,B,C$ 两两独立．

解析

令 $A=\{1,2,3,4\}$，$B=\{1,5,6,7\}$，$C=\{1,5,6,8\}$，那么有

$$P(A)=P(B)=P(C)=\dfrac 12,$$ 且 $$ABC=\{1\}\implies P(ABC)=\dfrac 18,$$ 此时 $$\begin{cases} P(AB)=\dfrac 18,\\ P(BC)=\dfrac 38,\\ P(CA)=\dfrac 18,\end{cases}$$ 因此 $A,B,C$ 两两均不独立．