每日一题[2062]染色方程

有一长、宽、高分别为正整数 $m, n, r$（$m \leqslant n \leqslant r$）的长方体，表面涂上红色后切成棱长为 $1$ 的正方体，已知不带红色的正方体个数与两面带红色的正方体个数之和，减去一面带红色的正方体个数得 $1985$．求 $m, n, r$ 的值．

答案    $(3,3,1981),(5,5,1981),(5,7,663),(1,3,1987),(1,7,399)$．

解析    情形一    若 $m\geqslant 2$，设 $m-2=a$，$n-2=b$，$r-2=c$，不带红色、一面带红色、两面带红色的正方体的个数分别为 $k_0,k_1,k_2$，则 $$\begin{cases} k_0=abc,\\ k_1=2ab+2bc+2ca,\\ k_2=4a+4b+4c,\end{cases}$$ 根据题意，有 $$k_0-k_1+k_2=1985\iff abc-2(ab+bc+ca)+4a+4b+4c=1985,$$ 即 $$(a-2)(b-2)(c-2)=1977,$$ 而 $1977=3\cdot 659$，于是可得解 $$(a-2,b-2,c-2)=(-1,-1,1977),(1,1,1977),(1,3,659),$$ 即 $$(m,n,r)=(3,3,1981),(5,5,1981),(5,7,663).$$

情形二    若 $m=1$，则 $$\begin{cases} k_0=0,\\ k_1=0,\\ k_2=(n-2)(r-2),\end{cases}$$ 根据题意，有 $$k_0-k_1+k_2=1985\iff (n-2)(r-2)=1985,$$ 而 $1985=5\cdot 395$，于是 $$(n-2,r-2)=(1,1985),(5,397),$$ 因此 $$(m,n,r)=(1,3,1987),(1,7,399).$$

综上所述，$(m,n,r)$ 的值为 $(3,3,1981),(5,5,1981),(5,7,663),(1,3,1987),(1,7,399)$．