每日一题[2028]分而治之

正实数 $x,y,z,w$ 满足 $x\geqslant y\geqslant w$ 和 $x+y\leqslant 2(z+w)$，则 $\dfrac wx+\dfrac zy$ 的最小值等于_______．

答案    $\sqrt 2-\dfrac 12$．

解析    根据题意，有

$$\dfrac wx+\dfrac zy\geqslant \dfrac wx+\dfrac{x+y-2w}{2y}=\dfrac wx+\dfrac x{2y}+\dfrac 12-\dfrac wy\geqslant \sqrt 2-\dfrac 12,$$ 等号当 $w=y$ 且 $x=\sqrt 2 y$ 时取得，因此所求最小值为 $\sqrt 2-\dfrac 12$．