每日一题[1972]分拆

设 $D(n)$ 是将正整数 $n$ 写成形如

$$n=f_1\cdot f_2\cdots f_k$$ 的写法数，其中 $k\geqslant 1$，$f_i$（$i=1,2,\cdots,k$）是大于 $1$ 的整数，且改变这些因子的顺序视为不同的写法，如 $6=6,2\cdot 3,3\cdot 2$，因此 $D(6)=3$，则 $D(96)=$（       ）

A．$112$

B．$128$

C．$144$

D．$172$

E．$184$

答案    A．

解析    考虑到 $96=2^5\cdot 3$，因此按 $k=1,2,3,4,5,6$ 分类．可以先将 $2$ 安排好，当 $k=1,2,\cdots,6$ 时，分别有 $\mathop{\rm C}\nolimits_5^{k-1}$ 种方法，然后在某个位置乘以 $3$ 即得，因此所求写法数为

$$\sum_{k=1}^6\left(k\mathop{\rm C}\nolimits_5^{k-1}\right)=\left(x(1+x)^5\right)'\Big|_{x=1}=2^5+5\cdot 2^4=112.$$