每日一题[1969]同构函数

已知函数 $f(x)=\dfrac{\ln x}x$，$g(x)=x{\rm e}^{-x}$．若存在 $x_1\in (0,+\infty)$，$x_2\in\mathbb R$，使得 $f(x_1)=g(x_2)=k$（$k<0$）成立，则 $\left(\dfrac{x_2}{x_1}\right)^2{\rm e}^k$ 的最大值为（       ）

A．${\rm e}^2$

B．${\rm e}$

C．$\dfrac4{{\rm e}^2}$

D．$\dfrac1{{\rm e}^2}$

答案    C．

解析    根据题意，有 $x_2<0<x_1<1$，且注意到 $f\left({\rm e}^x\right)=g(x)$，于是有 $x_1={\rm e}^{x_2}$，因此

$$\ln \left(\left(\dfrac{x_2}{x_1}\right)^2{\rm e}^k\right)=k+2\left(\ln (-x_2)-\ln x_1\right)=x_2{\rm e}^{-x_2}+2\left(\ln (-x_2)-x_2\right),$$ 记 $r(x)=-x{\rm e}^x+2(\ln x+x)$，则其导函数 $$r'(x)=\dfrac{\left(2-{\rm e}^xx\right)(x+1)}{x},$$ 于是函数 $r(x)$ 在 $x{\rm e}^x=2$ 时，也即 $\dfrac{-x_2}{{\rm e}^{-x_2}}=2$ 时取得极大值，亦为最大值．此时有 $x_2{\rm e}^{-x_2}=-2$，$\ln(-x_2)-x_2=\ln 2$，因此 $$x_2{\rm e}^{-x_2}+2\left(\ln (-x_2)-x_2\right)=-2+2\ln 2,$$ 所以所求最大值为 ${\rm e}^{-2+2\ln 2}=\dfrac{4}{{\rm e}^2}$．

备注    也可以利用 $\dfrac{\ln x_1}{x_1}=k$，$x_2=\ln x_1$，从而 $\dfrac{x_2}{x_1}=k$．