每日一题[1955]辅助公式

已知正数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ 和通项 $a_n$ 之间满足：$S_n\cdot a_n=\dfrac1{4^n}$，则数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为_______．

答案    $a_n=\dfrac1{2^n}\tan\dfrac{\pi}{2^{n+1}}$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）

解析    易知 $a_1=\dfrac12$，当 $n\geqslant 2$ 时，有 $$S_n=\dfrac{1}{4^n\cdot a_n}\implies a_n=S_{n}-S_{n-1}=\dfrac1{4^n\cdot a_n}-\dfrac1{4^{n-1}\cdot a_{n-1}},$$ 于是 $$a_{n-1}=\dfrac{4a_n}{1-4^n\cdot a_n^2}\iff 2^{n-1}a_{n-1}=\dfrac{2\cdot 2^na_n}{1-(2^n\cdot a_n)^2},$$ 设 $2^na_n=\tan\theta_{n}$，其中 $\theta_n\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$，则 $$\tan\theta_{n-1}=\tan2\theta_{n}\implies \theta_n=\dfrac12\theta_{n-1}\implies \theta_n=\dfrac{\pi}{2^{n+1}},n\in\mathbb N^\ast,$$ 故 $a_n=\dfrac{1}{2^n}\tan\dfrac{\pi}{2^{n+1}}$，$n\in\mathbb N^\ast$．