每日一题[1922]三角形的构成

在 $\triangle QRS$ 中，$\angle QRS$ 平分线交 $QS$ 于 $T$，设 $QT=m$，$TS=n$，$m,n$ 均为正整数且 $n>m$．若 $\triangle QPS$ 的周长 $p$ 为整数，且有 $m^2+2m-1$ 种不同的取值，则 $n-m=$ （       ）

A．$4$

B．$1$

C．$3$

D．$2$

E．$5$

答案    A．

解析    根据角平分线定理，$\dfrac{RQ}{RS}=\dfrac mn$，考虑到周长 $p$ 为整数，设 $RQ=\dfrac{m}{m+n}\cdot k$，$RS=\dfrac{n}{m+n}\cdot k$，其中 $k\in\mathbb N^{\ast}$．对于 $\triangle RQS$ 而言，有\[\begin{cases} RS+RQ>QS,\\ RS-RQ<QS,\end{cases}\iff \begin{cases} k>n+m,\\ \dfrac{(n-m)k}{n+m}<n+m,\end{cases}\]而 $n-m \mid n+m$，因此 $p$ 的可能值的个数为\[\dfrac{(n+m)^2}{n-m}-(n+m)-1=m^2+2m-1,\]化简整理可得\[n=1+\dfrac 4m,\]考虑到 $n>m$，于是 $m=1$，$n=5$，从而 $n-m=4$．