每日一题[1887]伸缩变换

已知 $A\left(1,\dfrac 32\right)$，$B\left(-1,-\dfrac 32\right)$ 在椭圆 $E:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}3=1$ 上，$P$ 为直线 $y=-\dfrac x2$ 上的动点，$AP,BP$ 分别于椭圆 $E$ 交于 $C,D$ 两点，求证：直线 $CD$ 的斜率为定值．

解析    用伸缩变换 $x'=x$，$y'=\dfrac{\sqrt 3}2y$，则椭圆变为圆 $x'^2+y'^2=4$，此时直线 $A'B'$ 与直线 $O'$ 垂直，因此 $C'D'\parallel A'B'$，进而 $CD\parallel AB$，直线 $CD$ 的斜率为定值 $\dfrac 32$．