每日一题[1882]扩大差异

比较 ${\log_3}4$ 与 ${\log_4}6$ 的大小．

答案    ${\log_3}4<{\log_4}6$．

解析    考虑到两个数都略大于 $1$，比较 $\dfrac{1}{{\log_3}4-1}$ 和 $\dfrac{1}{{\log_4}6-1}$，即 ${\log_{\frac 43}}3$ 和 ${\log_{\frac 32}}4$，而

$$\begin{cases} \left(\dfrac 43\right)^3<3<\left(\dfrac 43\right)^4,\\ \left(\dfrac 32\right)^3<4<\left(\dfrac 32\right)^4,\end{cases}$$ 因此这两个数都在 $(3,4)$ 之间．进而尝试缩小刻度，有 $$\begin{cases} \left(\dfrac 43\right)^7<3^2<\left(\dfrac 43\right)^8,\\ \left(\dfrac 32\right)^6<4^2<\left(\dfrac 32\right)^7,\end{cases}$$ 因此 ${\log_{\frac 43}}3\in (3.5,4)$，而 ${\log_{\frac 32}}4\in (3,3.5)$，从而 $${\log_{\frac 32}}4<{\log_{\frac 43}}3\implies {\log_3}4<{\log_4}6.$$