每日一题[1848]曲率半径

一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是 $y^2-x^2=1$（$y\in [1,10]$），在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（       ）

A．$1$

B．$2$

C．$3$

D．以上答案都不对

答案    A．

解析    设清洁钢球的半径为 $r$，则其球心坐标为 $P(0,1+r)$，我们使得双曲线上的所有点到 $P$ 的距离不小于 $r$．设双曲线上的点为 $Q(x_0,y_0)$，则

$$|PQ|^2\geqslant r^2\iff x_0^2+(y_0-1-r)^2\geqslant r^2\iff y_0^2-1+(y_0-1-r)^2-r^2\geqslant 0,$$ 整理可得 $$2(y_0-r)(y_0-1)\geqslant 0\iff r\leqslant y_0,$$ 因此 $r$ 的最大值为 $y_0$ 的最小值，为 $1$．

备注    根据曲线的曲率半径的计算公式

$$R=\left|\dfrac{\left(1+f'^2(x)\right)^{\frac 32}}{f''(x)}\right|,$$ 可得双曲线在底部的曲率半径为 $1$，因此清洁钢球的最大半径为 $1$．