每日一题[1849]对称换元

已知实数 $x,y$ 满足 $x^2+xy+y^2=6$,求 $x^2y+xy^2-x^2-2xy-y^2+x+y$ 的取值范围.

答案    $\left[-8-6\sqrt 2,3\right]$.

解析    设 $x+y=2m$,$x-y=2n$,则条件变为 $3m^2+n^2=6$,所求代数式记为 $A$,则\[A=-2mn^2+2m^3-4m^2+2m=8m^3-4m^2-10m,\]其中 $-\sqrt 2\leqslant m\leqslant \sqrt 2$.设右侧函数为 $f(m)$,则其导函数\[f'(m)=24m^2-8m-10=2(2m+1)(6m-5),\]因此\[\begin{array}{c|cccc}\hline m&-\sqrt 2&-\dfrac 12&\dfrac 56&\sqrt 2\\ \hline f(m)&-8-6\sqrt 2&3&-\dfrac{175}{27}&-8+6\sqrt 2\\ \hline \end{array}\]因此所求取值范围是 $\left[-8-6\sqrt 2,3\right]$.

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每日一题[1849]对称换元》有1条回应

  1. jiangshuidl说:

    直接配凑x十y和xy也可以

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