每日一题[1747]消元化函数

设正实数 $a,b,c$ 满足 $a\leqslant b \leqslant c$，且 $a^2+b^2+c^2=9$．证明：$abc+1>3a$．

解析    由 $a\leqslant b\leqslant c$，可得 $$(b^2-a^2)(c^2-a^2)=b^2c^2-(b^2+c^2)a^2+a^4=b^2c^2-a^2(9-2a^2)\geqslant 0,$$ 于是 $$bc\geqslant a\sqrt{9-2a^2},$$ 于是只需要证明 $$a^2\sqrt{9-2a^2}>3a-1,$$ 显然只需要考虑 $a\in\left[\dfrac 13,\sqrt 3\right]$ 的情形． 只需证明 $$a^4(9-2a^2)>(3a-1)^2\iff2a^6-9a^4+9a^2-6a+1<0,$$ 记左侧函数为 $f(a)$，$a\in\left[\dfrac 13,\sqrt 3\right]$，则其导函数 $$f'(a)=12a^5-36a^3+18a-6=12a^3(a^2-3)+6(a-3)<0,$$ 因此 $f(a)$ 在 $a\in \left[\dfrac 13,\sqrt 3\right]$ 上单调递减，所以 $$f(a)\leqslant f\left(\dfrac 13\right)=\dfrac {2}{3^6}-\dfrac{9}{3^4}+\dfrac{9}{3^2}-\dfrac 63+1<0,$$ 命题成立． 综上所述，原命题得证．