每日一题[1727]联立与分离

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，圆 $\Omega$ 与抛物线 $\Gamma:y^2=4x$ 恰有一个公共点，且圆 $\Omega$ 与 $x$ 轴相切于 $\Gamma$ 的焦点 $F$．求圆 $\Omega$ 的半径．

答案     $\dfrac{4\sqrt 3}9$．

解析    设圆 $\Omega$ 的半径为 $r$，则根据对称性，不妨设

$$\Omega:(x-1)^2+(y-r)^2=r^2,$$ 与 $\Gamma:y^2=4x$ 联立，可得 $$\left(\dfrac 14y^2-1\right)^2+(y-r)^2=r^2\iff r=\dfrac{(y^2+4)^2}{32y},y>0,$$ 记右侧函数为 $f(y)$，则其导函数 $$f'(y)=\dfrac{(3y^2-4)(y^2+4)}{32y^2},y>0,$$ 因此 $$\begin{array}{c|ccccc}\hline y&0+&\left(0,\dfrac{2}{\sqrt 3}\right)&\dfrac2{\sqrt 3}&\left(\dfrac{2}{\sqrt 3},+\infty\right)&+\infty \\ \hline f'(y)&&-&0&+&\\ \hline f(y)&+\infty&\searrow& \dfrac{4\sqrt 3}9&\nearrow&+\infty\\ \hline\end{array}$$ 进而可得只有当 $r=\dfrac{4\sqrt 3}9$ 时符合题意，所求圆 $\Omega$ 的半径为 $\dfrac{4\sqrt 3}9$．