设 $x,y\in\mathbb Z$，若 $\left(x^2+x+1\right)^2+\left(y^2+y+1\right)^2$ 为完全平方数，则数对 $(x,y)$ 的组数为（ ）
A．$0$
B．$1$
C．无穷多
D．以上答案都不对
答案 A．
解析 考虑到 $x^2+x+1=x(x+1)+1$，因此 $x^2+x+1$ 是奇数，因此\[(x^2+x+1)^2\equiv 1\pmod 4,\]同理，也有 $(y^2+y+1)^2\equiv 1\pmod 4$，因此\[(x^2+x+1)^2+(y^2+y+1)^2\equiv 2\pmod 4,\]而完全平方数模 $4$ 的余数只可能为 $0,1$，矛盾．因此所求组数为 $0$．