每日一题[1714]完全平方数

设 $x,y\in\mathbb Z$，若 $\left(x^2+x+1\right)^2+\left(y^2+y+1\right)^2$ 为完全平方数，则数对 $(x,y)$ 的组数为（       ）

A．$0$

B．$1$

C．无穷多

D．以上答案都不对

答案    A．

解析    考虑到 $x^2+x+1=x(x+1)+1$，因此 $x^2+x+1$ 是奇数，因此

$$(x^2+x+1)^2\equiv 1\pmod 4,$$ 同理，也有 $(y^2+y+1)^2\equiv 1\pmod 4$，因此 $$(x^2+x+1)^2+(y^2+y+1)^2\equiv 2\pmod 4,$$ 而完全平方数模 $4$ 的余数只可能为 $0,1$，矛盾．因此所求组数为 $0$．