每日一题[1690]估计范围

若 $\sin x+\cos x=\dfrac 13$，且 $0<x<\pi$，则 $\sin 2x+\cos 2x=$ _______．

答案    $-\dfrac {8+\sqrt {17}}9$．

解析    根据题意，有

$$\sin 2x=(\sin x+\cos x)^2-1=-\dfrac 89.$$

利用三角函数线可知 $\dfrac{\pi}2<x<\dfrac{3\pi}4$，于是 $2x\in\left(\pi,\dfrac{3\pi}2\right)$，从而

$$\sin 2x+\cos 2x=-\dfrac 89+\left(-\dfrac{\sqrt{17}}9\right)=-\dfrac{8+\sqrt{17}}9.$$