每日一题[1669]双剑合璧

设集合 $A=\{n(n+1)\mid n=1, 2, \cdots\}$，$B=\{3m - 1\mid m=1,2, \cdots\}$，若将集合 $A \cap B$ 的元素按自小到大的顺序排列成一个数列 $\{a_k\}$，则数列 $\{a_k\}$ 的通项公式为 $a_k=$ _______．

答案    $9k^2-9k+2$．

根据题意，有

$$a_k=n(n+1)=3m-1,$$ 于是 $$(2n+1)^2=3(4m-1),$$ 因此 $3\mid 2n+1$，进而 $n=3p-2$，从而 $$(6p-3)^2=3(4m-1)\implies m=3p^2-3p+1,$$ 进而可得数列 $\{a_k\}$ 的通项公式为 $a_k=9k^2-9k+2$．