每日一题[1659]不分离

已知函数 $f(x)=\dfrac 13x^3-a(x^2+x+1)$．

1、若 $a=3$，求 $f(x)$ 的单调区间．

2、证明：$f(x)$ 只有一个零点．

解析

1、当 $a=3$ 时，函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=x^2-6x-3,$$ 于是函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $\left(-\infty,3-2\sqrt 3\right)$ 和 $\left(3-2\sqrt 3,+\infty\right)$，单调递减区间是 $\left(3-2\sqrt 3,3+2\sqrt 3\right)$．

2、函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=x^2-2ax-a,$$ 其判别式 $\Delta=4a(a+1)$．

情形一     $\Delta\leqslant 0$，即 $-1\leqslant a\leqslant 0$．此时 $f'(x)\geqslant 0$，函数 $f(x)$ 是单调递增函数，而 $$f(-3)\cdot f(0)=a(7a+9)\leqslant 0,$$ 因此函数 $f(x)$ 只有一个零点．

情形二     $\Delta>0$，设 $x=m$ 是函数 $f(x)$ 的极值点，则对应极值 $$t=f(m)=\dfrac 13m^3-a(m^2+m+1),$$ 其中 $m^2-2am-a=0$．因此 $$t=\dfrac 13m^3-\dfrac{m^2}{2m+1}\cdot (m^2+m+1)=-\dfrac{m^2(m^2+2m+3)}{3(2m+1)}.$$ 若 $a>0$，则 $m>-\dfrac 12$．此时函数 $f(x)$ 的两个极值均小于 $0$，而当 $x>9$ 时，有 $$f(x)>\dfrac 13\cdot 9x^2-x^2-x-1>2x^2-x-1>0,$$ 此时函数 $f(x)$ 只有一个零点． 若 $a<-1$，则 $m<-\dfrac 12$．此时函数 $f(x)$ 的两个极值均大于 $0$，而当 $x<-9$ 时，有 $$f(x)<\dfrac 13\cdot (-9x^2)+x^2+x+1<-2x^2+x+1<0,$$ 此函数 $f(x)$ 只有一个零点． 综上所述，函数 $f(x)$ 只有一个零点．