每日一题[1600]构造映射

称所有元素的平方和为奇数的非空有限数集为平凡集，若集合 $A=\{1,2,3,\cdots,2016,2017\}$，则 $A$ 的所有真子集中平凡集的个数为（允许用数的幂次表示）_______．

答案    $2^{2016}-1$．

解析    称所有元素的平方和为偶数的非空有限数集以及空集为非平凡集．对集合 $A$ 的平凡子集 $x$ 组成的集合 $P$ 和非平凡子集 $y$ 组成的集合 $Q$ 存在一一映射 $f:x\mapsto y$：

$$y=\begin{cases} x-\{1\},&1\in x,\\ x+\{1\},&1\notin x,\end{cases}$$ 于是 $|P|=|Q|$．又 $|P|+|Q|=2^{2017}$，于是 $|P|=2^{2016}$．考虑到 $A$ 是平凡集，于是所求个数为 $2^{2016}-1$．