每日一题[1589]费马点

发表于2019年5月25日由意琦行

已知 $x,y,z \in \mathbb R^+$，且 $x^2+y^2+xy=1$，$y^2+z^2+yz=2$，$z^2+x^2+zx=3$，则 $x+y+z=$ _______．

答案    $\sqrt{3+\sqrt 6}$．

解析    设 $OA=x$，$OB=y$，$OC=z$ 且 $\angle AOB=\angle BOC=\angle COA=120^\circ$，则根据余弦定理，有\[\begin{cases} AB=1,\\ BC=\sqrt 2,\\ CA=\sqrt 3,\end{cases}\]$O$ 为 $\triangle ABC$ 的费马点．以 $BC$ 为底边向外作正三角形 $BCD$，$\triangle COB$ 逆时针旋转 $60^\circ$ 得到 $\triangle CED$．

根据费马点的性质，有\[x+y+z=OA+OB+OC=OA+DE+OE=OD,\]在 $\triangle ACD$ 中，$\angle ABD=150^\circ$，$AB=1$，$BD=BC=\sqrt 2$，应用余弦定理，可得\[AD=\sqrt{AB^2+BD^2-2\cdot AB\cdot BD\cdot \angle ABD}=\sqrt{3+\sqrt 6},\]因此 $x+y+z=\sqrt{3+\sqrt 6}$．

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《每日一题[1589]费马点》有一条回应

  1. Oloid说：
    2020年3月15日 下午8:13

    设$F_{1}$为三角形$\triangle\,\!ABC$的第一Fermat点，
    三角形$\triangle\,\!ABC$的三边长依次为$\left|BC\right|=a$,$\left|AC\right|=b$,$\left|AB\right|=c$，从而有
    \begin{align*}
    \begin{split}
    \left|AF_{1}\right|&=\dfrac{\sqrt{\,3}\,(b^2+c^2-a^2)+4S\,}{\sqrt{6\Big(a^2+b^2+c^2+4\sqrt{3}\,S\Big)}}\\
    \left|BF_{1}\right|&=\dfrac{\sqrt{\,3}\,(a^2+c^2-b^2)+4S\,}{\sqrt{6\Big(a^2+b^2+c^2+4\sqrt{3}\,S\Big)}}\\
    \left|CF_{1}\right|&=\dfrac{\sqrt{\,3}\,(a^2+b^2-c^2)+4S\,}{\sqrt{6\Big(a^2+b^2+c^2+4\sqrt{3}\,S\Big)}}\\
    \end{split}\\
    \end{align*}
    其中$\,4S=\sqrt{\big(a+b+c\big)\big(b+c-a\big)\big(a+c-b\big)\big(a+b-c\big)}\,$

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