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每日一题[1589]费马点

已知 $x,y,z \in \mathbb R^+$ ，且 $x^2+y^2+xy=1$ ， $y^2+z^2+yz=2$ ， $z^2+x^2+zx=3$ ，则 $x+y+z=$ _______．

答案 $\sqrt{3+\sqrt 6}$ ．

解析设 $OA=x$ ， $OB=y$ ， $OC=z$ 且 $\angle AOB=\angle BOC=\angle COA=120^\circ$ ，则根据余弦定理，有

$\begin{cases} AB=1,\\ BC=\sqrt 2,\\ CA=\sqrt 3,\end{cases}$

$O$ 为

$\triangle ABC$ 的费马点．以

$BC$ 为底边向外作正三角形

$BCD$ ，

$\triangle COB$ 逆时针旋转

$60^\circ$ 得到

$\triangle CED$ ．

根据费马点的性质，有

$x+y+z=OA+OB+OC=OA+DE+OE=OD,$ 在

$\triangle ACD$ 中，

$\angle ABD=150^\circ$ ，

$AB=1$ ，

$BD=BC=\sqrt 2$ ，应用余弦定理，可得

$AD=\sqrt{AB^2+BD^2-2\cdot AB\cdot BD\cdot \angle ABD}=\sqrt{3+\sqrt 6},$ 因此

$x+y+z=\sqrt{3+\sqrt 6}$ ．

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