每日一题[1571]抛物线的平均性质

已知抛物线方程 $y^2=2px$（$p>0$），过焦点 $F$ 的直线与抛物线交于 $A,B$ 两点，$O$ 为坐标原点，若 $2\angle AOF=\angle BOF$，则 $\dfrac{|AF|}{|BF|}=$ （       ）

A．$\dfrac 32$

B．$3$

C．$4$

D．$6$

答案     D．

解析    设 $A(2pa^2,2pa)$，$B(2pb^2,2pb)$，则直线 $OA,OB$ 的斜率分别为 $\dfrac1a,\dfrac1b$，由 $2\angle AOF=\angle BOF$ 可得

$$\dfrac{2\tan\angle AOF}{1-\tan^2\angle AOF}=\tan\angle BOF\implies \dfrac{\dfrac 2a}{1-\dfrac1{a^2}}=-\dfrac 1b,$$ 又根据抛物线的平均性质，有 $ab=-\dfrac 14$，结合上述方程解得 $$(a,b)=\left(\pm\dfrac{\sqrt 6}2,\mp \dfrac{1}{2\sqrt 6}\right),$$ 因此 $$\dfrac{|AF|}{|BF|}=\dfrac{2pa^2+\dfrac p2}{2pb^2+\dfrac p2}=\dfrac{4a^2+1}{4b^2+1}=6.$$