已知抛物线方程 $y^2=2px$（$p>0$），过焦点 $F$ 的直线与抛物线交于 $A,B$ 两点，$O$ 为坐标原点，若 $2\angle AOF=\angle BOF$，则 $\dfrac{|AF|}{|BF|}=$ （ ）
A．$\dfrac 32$
B．$3$
C．$4$
D．$6$
答案 D．
解析 设 $A(2pa^2,2pa)$，$B(2pb^2,2pb)$，则直线 $OA,OB$ 的斜率分别为 $\dfrac1a,\dfrac1b$，由 $2\angle AOF=\angle BOF$ 可得\[\dfrac{2\tan\angle AOF}{1-\tan^2\angle AOF}=\tan\angle BOF\implies \dfrac{\dfrac 2a}{1-\dfrac1{a^2}}=-\dfrac 1b,\]又根据抛物线的平均性质，有 $ab=-\dfrac 14$，结合上述方程解得\[(a,b)=\left(\pm\dfrac{\sqrt 6}2,\mp \dfrac{1}{2\sqrt 6}\right),\]因此\[\dfrac{|AF|}{|BF|}=\dfrac{2pa^2+\dfrac p2}{2pb^2+\dfrac p2}=\dfrac{4a^2+1}{4b^2+1}=6.\]