每日一题[1562]三倍角公式

设函数 $f(x)=ax^3-3x+1$（$x\in\mathbb R$），若对于任意 $x\in[-1,1]$ 都有 $f(x)\geqslant 0$ 成立，则实数 $a$ 的值为_______．

答案      $4$．

解析       根据题意，有

$$\forall x\in[-1,1],ax^3-3x+1\geqslant 0.$$ 分别令 $x=\dfrac 12$ 和 $x=-1$，可得 $$\begin{cases} \dfrac 18a-\dfrac 12\geqslant 0,\\ -a+4\geqslant 0,\end{cases}\iff a=4,$$ 而当 $a=4$ 时，有 $$4x^3-3x+1=(x+1)(2x-1)^2\geqslant 0,$$ 符合题意．因此实数 $a$ 的值为 $4$．

备注      事实上，设 $x=\cos\theta$，则

$$ax^3-3x+1=(a-4)\cos^3\theta+\cos 3\theta+1,$$ 自然想到令 $\theta=\dfrac{\pi}3$ 以及令 $\theta=\pi$．