每日一题[1561]极化恒等式

直线 $ax+by+c=0$ 与圆 $O:x^2+y^2=16$ 交于点 $M,N$，若 $c^2=a^2+b^2$，$P$ 为圆 $O$ 上任意一点，则 $\overrightarrow{PM}\cdot\overrightarrow{PN}$ 的取值范围是_______．

答案       $[-6,10]$．

解析      由 $c^2=a^2+b^2$ 可得原点 $O$ 到直线 $ax+by+c=0$ 的距离为 $1$，于是 $MN$ 为圆 $x^2+y^2=1$ 的切线，设切点为 $Q$，如图．

由向量的极化恒等式可得

$$\overrightarrow{PM}\cdot \overrightarrow{PN}=PQ^2-QM^2=PQ^2-15,$$ 而 $PQ$ 的最小值为 $3$，最大值为 $5$，因此所求取值范围是是 $[-6,10]$．