每日一题[1537]周而复始

把 $1,2,\cdots,n^2$ 按照顺时针螺旋方式排成 $n$ 行 $n$ 列的表格 $T_n$，第一行是 $1,2,\cdots,n,$ 例如

$$T_3=\begin{bmatrix}1&2&3\\8&9&4\\7&6&5\end{bmatrix}.$$ 设 $2018$ 在 $T_{100}$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列，则 $\left(i,j\right)=$_______．

答案       $\left(34,95\right)$．

解析       $T_{100}$ 中的 $100^2$ 个数 $1,2,\cdots,100^2$ 共分 $50$ 圈，其中第 $k$ 圈有 $4(101-2k)$ 个数，因此有

$$(k,k)=1+4\sum_{i=1}^{k-1}(101-2i)=1+4(101-k)(k-1),$$ 从而 $$(6,6)=1901,$$ 进而 $$(6,95)=1901+89=1990,$$ 因此 $$2018=(6+28,95)=(34,95).$$