每日一题[1517]估值

设 $n$ 是正整数，当 $n>100$ 时，$\sqrt{n^2+3n+1}$ 的小数部分的前两位数是_______．

答案       $49$．

解析       注意到

$$\sqrt{n^2+3n+1}=\sqrt{\left(n+\dfrac 32\right)^2-\dfrac 54}<(n+1)+0.5,$$ 而 $$\begin{split} (n+1)+0.49&=\sqrt{n^2+2.98n+2.2201}\\ &=\sqrt{n^2+3n+1-(0.02n-1.2201)}\\ &<\sqrt{n^2+3n+1},\end{split}$$ 于是 $\sqrt{n^2+3n+1}$ 的小数部分的前两位数是 $49$．

备注       也可以笔算开平方计算 $\sqrt{101^2+3\cdot 101+1}=\sqrt{10505}= 102.49\cdots$．