每日一题[1488]和谐的向量

设 $W$ 是由平面内的 $n $（$ n\geqslant 3 $）个向量组成的集合．若 $ \overrightarrow{a}\in W $，且 $ \overrightarrow{a} $ 的模不小于 $ W $ 中除 $ \overrightarrow{a} $ 外的所有向量之和的模，则称 $ \overrightarrow{a} $ 是 $ W $ 的一个极大向量．有下列命题：

① 若 $ W $ 中每个向量的方向都相同，则 $ W $ 中必存在一个极大向量；

② 给定平面内两个不共线向量 $ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} $，在该平面内总存在唯一的平面向量 $ \overrightarrow{c}=-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} $，使得 $ W=\left\{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\right\} $ 中的每个元素都是极大向量；

③ 若 $ W_1=\left\{\overrightarrow{a}_1,\overrightarrow{a}_2,\overrightarrow{a}_3\right\} $ 与 $ W_2=\left\{\overrightarrow{b}_1,\overrightarrow{b}_2,\overrightarrow{b}_3\right\} $ 中的每个元素都是极大向量，且 $ W_1\cap W_2=\varnothing $，则 $ W_1\cup W_2$ 中的每一个元素也都是极大向量．

其中真命题的序号有_______．

答案        ②③．

解析       命题 ①      取 $W=\{(2,0),(3,0),(4,0)\}$，则 $W$ 中不存在极大向量．

命题 ②       一方面，$W=\left\{\overrightarrow a,\overrightarrow b,-\overrightarrow a-\overrightarrow b\right\}$ 中任何一个元素都是极大向量；另一方面，若 $W=\left\{\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c\right\}$ 中任何一个元素都是极大向量，则\[\begin{cases} \left|\overrightarrow a\right|\geqslant \left|\overrightarrow b+\overrightarrow c\right|,\\ \left|\overrightarrow b\right|\geqslant \left|\overrightarrow c+\overrightarrow a\right|,\\ \left|\overrightarrow c\right|\geqslant \left|\overrightarrow a+\overrightarrow b\right|,\end{cases}\]于是\[\sum_{\rm cyc}\left|\overrightarrow a\right|^2\geqslant \sum_{\rm cyc}\left|\overrightarrow b+\overrightarrow c\right|^2,\]即\[\sum_{\rm cyc}\left|\overrightarrow a\right|^2\geqslant \sum_{\rm cyc}\left|\overrightarrow b\right|^2+\sum_{\rm cyc}\left|\overrightarrow c\right|^2+2\sum_{\rm cyc}\left(\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\right),\]也即\[\left(\overrightarrow a+\overrightarrow b+\overrightarrow c\right)^2\leqslant 0,\]也即\[\overrightarrow a+\overrightarrow b+\overrightarrow c=\overrightarrow 0,\]因此命题成立．

命题 ③       利用命题 ② 的结论，可得\[\overrightarrow a_1+\overrightarrow a_2+\overrightarrow a_3=\overrightarrow b_1+\overrightarrow b_2+\overrightarrow b_3=\overrightarrow 0,\]于是\[\left|\overrightarrow a_i\right|=\left|\overrightarrow a_1+\overrightarrow a_2+\overrightarrow a_3+\overrightarrow b_1+\overrightarrow b_2+\overrightarrow b_3-\overrightarrow a_i\right|,\]因此 $W_1\cup W_2$ 中每一个向量都是极大向量．