每日一题[1466]垂径定理

已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的右焦点 $F$，过 $F$ 作两条互相垂直的弦 $AB,CD$，弦 $AB,CD$ 的中点分别为 $M,N$，求证：直线 $MN$ 恒过定点．

答案        恒过定点 $\left(\dfrac{a^2\sqrt{a^2-b^2}}{a^2+b^2},0\right)$．

解析        记 $F(c,0)$．

情形一    直线 $AB,CD$ 的斜率均存在．设直线 $AB,CD$ 的斜率为 $k,-\dfrac 1k$，$M(m_1,n_1)$，$N(m_2,n_2)$，则根据椭圆的垂径定理，有

$$\begin{cases} k\cdot \dfrac{n_1}{m_1}=-\dfrac{b^2}{a^2},\\ \dfrac{n_1}{m_1-c}=k,\end{cases}$$ 解得 $$\begin{cases} m_1=\dfrac{a^2ck^2}{a^2k^2+b^2},\\ n_1=-\dfrac{b^2ck}{a^2k^2+b^2},\end{cases}$$ 进而 $$\begin{cases} m_2=\dfrac{a^2c}{a^2+b^2k^2},\\ n_2=\dfrac{b^2ck}{a^2+b^2k^2},\end{cases}$$ 于是直线 $MN$ 的横截距 $$t=\dfrac{m_1n_2-m_2n_1}{n_2-n_1}=\dfrac{\dfrac{m_1}{n_1}-\dfrac{m_2}{n_2}}{\dfrac 1{n_1}-\dfrac 1{n_2}}=\dfrac{-\dfrac{a^2k}{b^2}-\dfrac{a^2}{b^2k}}{-\dfrac{(a^2+b^2)(1+k^2)}{b^2ck}}=\dfrac{a^2c}{a^2+b^2}=\dfrac{a^2\sqrt{a^2-b^2}}{a^2+b^2}.$$

情形二    直线 $AB$ 或 $CD$ 的斜率不存在，经验证，直线 $MN$ 亦过点 $\left(\dfrac{a^2\sqrt{a^2-b^2}}{a^2+b^2},0\right)$． 综上所述，直线 $MN$ 恒过定点 $\left(\dfrac{a^2\sqrt{a^2-b^2}}{a^2+b^2},0\right)$．