每日一题[1461]对偶

设 $$A=\left(a_{ij}\right)_{n\times n}= \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{pmatrix}$$ 是由 $1,2,3,\cdots,n^2$ 组成的 $n$ 行 $n$ 列的数表（每个数恰好出现一次），$n\geqslant 2$ 且 $n\in\mathbb{N}^{*}$．若存在 $1\leqslant i,j\leqslant n$，使得 $a_{ij}$ 既是第 $i$ 行中的最大值，也是第 $j$ 列中的最小值，则称数表 $A$ 为一个“好数表”，$a_{ij}$ 为数表 $A$ 的一个“好值”．对任意给定的 $n$，所有“好数表”构成的集合记作 $\Omega_n$．

1、给出数表 $$A= \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9 \end{pmatrix},\ B= \begin{pmatrix} 1&4&7\\ 8&2&5\\ 6&9&3 \end{pmatrix},$$ 判断 $A,B$ 是否是“好数表”，若是，写出它的一个“好值”．

2、求证：若数表 $A$ 是“好数表”，则 $A$ 的“好值”是唯一的．

3、在 $\Omega_{19}$ 中随机选取一个数表 $A$，记 $A$ 的“好值”为 $X$，求 $X$ 的数学期望 $E(X)$．

解析

1、由题意，$A$ 是“好数表”，其“好值”为 $3$；$B$ 不是“好数表”．

2、假设 $a_{ij}\ne a_{st}$ 均是“好数表”$A$ 的“好值”，其中 $1\leqslant i,j,s,t\leqslant n$，则 $i\ne s$ 且 $j\ne t$．一方面， $$a_{ij}>a_{it}>a_{st},$$ 另一方面， $$a_{st}>a_{sj}>a_{ij},$$ 矛盾．所以若数表 $A$ 是“好数表”，则 $A$ 的“好值”是唯一的．

3、对给定的“好数表”$A=\left(a_{ij}\right)_{19\times 19}\in\Omega_{19}$，令 $$b_{ij}=362-a_{ji},$$ 其中 $1\leqslant i,j\leqslant 19$．设 $B=\left(b_{ij}\right)_{19\times 19}$．易证 $$f:\Omega_{19}\longrightarrow\Omega_{19}, A\longmapsto B$$ 为双射．若 $A$ 的好值为 $a_{st}$，则 $B=f\left(A\right)$ 的“好值”为 $b_{ts}=362-a_{st}$．所以可将 $\Omega_{19}$ 中的“好数表”$A$ 与“好数表”$B=f(A)$ 配对，使得 $A$ 与 $f(A)$ 的“好值”之和为 $362$，故 $E(X)=181$．