每日一题[1459]补形

在三棱锥 $A-BCD$ 中，$BC=BD=AC=AD=10$，$AB=6$，$CD=16$，点 $P$ 在平面 $ACD$ 内，且 $BP=\sqrt{30}$，设异面直线 $BP$ 与 $CD$ 所成角为 $\alpha$，则 $\sin\alpha$ 的最小值为（ ）

A．$\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$

B．$\dfrac{\sqrt{10}}{10}$

C．$\dfrac{2\sqrt 5}5$

D．$\dfrac{\sqrt 5}5$

答案 A．

解析 四面体 $ABCD$ 的外接平行六面体底面为菱形，侧面为矩形．进而可得该平行六面体的高为

$$\sqrt{10^2-8^2-3^2}=3\sqrt 3,$$ 于是根据等体积法，点 $B$ 到平面 $ACD$ 的距离 $$h=\dfrac{V_{ABCD}}{\dfrac 13S_{\triangle ACD}}=3\sqrt 3,$$ 因此异面直线 $BP$ 与 $CD$ 所成角 $\alpha$ 的正弦 $\sin\alpha$ 的最小值为 $$\dfrac{h}{BP}=\dfrac{3}{\sqrt{10}}.$$