函数 $f(x)=x$，$g(x)=x^2-x+3$．若存在 $x_1,x_2,\cdots,x_n\in\left[0,\dfrac 92\right]$，使得 $f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_{n-1})+g(x_n)=g(x_1)+g(x_2)+\cdots+g(x_{n-1})+f(x_n)$，则 $n$ 的最大值为（ ）
A．$5$
B．$6$
C．$7$
D．$8$
答案 D．
解析 设 $h(x)=f(x)-g(x)$，则问题即存在 $x_1,x_2,\cdots,x_n\in\left[0,\dfrac 92\right]$，使得\[h(x_1)+h(x_2)+\cdots+h(x_{n-1})=h(x_n).\]由于 $h(x)$ 在 $x\in\left[0,\dfrac 92\right]$ 上的取值范围是 $\left[-\dfrac{57}4,-2\right]$．于是问题即\[\left[-\dfrac{57}4\cdot (n-1),-2\cdot (n-1)\right]\cap \left[-\dfrac{57}4,-2\right]\ne \varnothing,\]也即\[-2(n-1)\geqslant -\dfrac{57}4,\]解得 $n$ 的最大值为 $8$．