每日一题[1391]衔接

求最小的正整数 $n$，使得当正整数 $k \geqslant n$ 时，在前 $k$ 个正整数构成的集合 $M=\{1,2,\cdots,k\}$ 中，对任何 $x\in M$，总存在另一数 $y\in M$（$y \ne x$），满足 $x+y$ 为平方数．

答案    $7$．

解析    若集合 $M=\{1,2,\cdots,k\}$ 满足对任何 $x\in M$，总存在另一数 $y\in M$（$y \ne x$），使得 $x+y$ 为平方数，则称 $k$ 是好数．显然 $6$ 不是好数（取 $x=2$，则在 $\{1,2,3,4,5,6\}$ 中找不到使得 $x+y$ 为完全平方数的数 $y$），因此 $n\geqslant 7$．注意到 $7$ 是好数，接下来尝试证明所有不小于 $7$ 的数均为好数．给出

引理    当 $7\leqslant k\leqslant m^2$（$m\geqslant 3$ 且 $m\in\mathbb N$）时，$k$ 为好数．

引理的证明    对 $m$ 进行归纳．当 $m=3$ 时，容易验证 $k=7,8$ 均为好数． 假设命题对 $m$ 成立，则考虑 $7\leqslant k\leqslant (m+1)^2$ 的情形，只需要证明 $k=m^2+r$，其中 $r=1,2,\cdots,2m+1$ 的情形．当 $r=1,2,\cdots,2m$ 时，有 $$(m^2+r)+(2m+1-r)=(m+1)^2,$$ 当 $r=2m+1$ 时，有 $$(m^2+r)+(2m+3)=(m+2)^2,$$ 显然 $2m+1-r$（$r=1,2,\cdots,2m$）以及 $2m+3$ 都在集合 $\left\{1,2,3,\cdots,m^2\right\}$ 中，于是当 $7\leqslant k\leqslant (m+1)^2$ 时，$k$ 均为好数． 综上所述，引理得证． 根据引理，符合题意的最小正整数 $n$ 为 $7$．