每日一题[1354]不在中边路

已知 $x,y\geqslant 0$，且 $x+y=4$，则 $m=(x^2+1)(y^2+1)$ 的最小值为_______．

答案    $16$．

解析    根据题意，有 $$\begin{split} m&=(xy)^2+(x+y)^2-2xy+1\\ &=(xy)^2-2xy+17\\ &=(xy-1)^2+16\\ &\geqslant 16,\end{split}$$ 等号当 $xy=1$ 时取得，因此所求的最小值为 $16$．