已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=\dfrac 43$，$a_{n+1}=a_n^2+\dfrac 2{a_n}-2$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）．
1、求证：$1<a_{n+1}<a_n$．
2、求证：$n+\dfrac 13\leqslant a_1+a_2+\cdots+a_n\leqslant n+2$．
解析
1、不动点方程为\[x=x^2+\dfrac 2x-2,\]解得\[x=1,\pm \sqrt 2,\]如图．
考虑到初值 $a_1=\dfrac 43$，于是数列 $\{a_n\}$ 应该单调递减收敛于 $1$．利用不动点 $x=1$ 改造递推公式，有\[\dfrac{a_{n+1}-1}{a_n-1}=a_n-\dfrac{2}{a_n}+1,\]利用数学归纳法可以证明\[1<a_n<\sqrt 2,\]进而有\[1<a_{n+1}<a_n\leqslant \dfrac 43,\]命题得证．
2、当 $n=1$ 时不等式显然成立．
当 $n\geqslant 2$ 时，不等式即\[0\leqslant \sum_{k=2}^n(a_k-1)\leqslant \dfrac 53,\]根据第 $(1)$ 小题的结果，左边显然成立．而 $a_2=\dfrac{23}{18}$ 且\[\dfrac{a_{n+1}-1}{a_n-1}=a_n-\dfrac 2{a_n}+1\leqslant \dfrac 56,\]于是\[\sum_{k=2}^n(a_k-1)\leqslant \dfrac{a_2-1}{1-\dfrac 56}=\dfrac 53,\]因此原命题得证．