每日一题[1300]差分出规律

已知数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1=a_2=a_3=k$，$a_{n+1}=\dfrac{k+a_na_{n-1}}{a_{n-2}}$（$n\geqslant 3$，$n\in\mathbb N^{\ast}$）其中 $k>0$，数列 $\{b_n\}$ 满足：$b_n=\dfrac{a_n+a_{n+2}}{a_{n+1}}$（$n=1,2,3,\cdots$）．

1、求 $b_1,b_2,b_3,b_4$．

2、求数列 $\{b_n\}$ 的通项公式．

3、是否存在正数 $k$，使得数列 $\{a_n\}$ 的每一项均为整数？如果不存在，请说明理由；如果存在，求出所有的 $k$．

解析

1、根据题意，有

$$\begin{array}{c|cccccc}\hline n&1&2&3&4&5&6\\ \hline a_n&k&k&k&k+1&k+2&k+4+\dfrac 2k\\ \hline b_n&2&2+\dfrac 1k&2&2+\dfrac 1k&2&2+\dfrac 1k\\ \hline \end{array}$$

2、根据题意，有

$$\begin{split} a_na_{n+3}-a_{n+1}a_{n+2}=k,\\ a_{n+1}a_{n+4}-a_{n+2}a_{n+3}=k,\end{split}$$ 两式相减可得 $$a_{n+3}(a_n+a_{n+2})-a_{n+1}(a_{n+2}+a_{n+4})=0,$$ 于是 $$b_{n+2}=b_n,$$ 结合第 $(1)$ 小题的结果可得 $$b_n=\begin{cases} 2,&n\equiv 1\pmod 2,\\ 2+\dfrac 1k,&n\equiv 0\pmod 2.\end{cases}$$

3、若 $\{a_n\}$ 中每一项均为整数，则由于

$$k=a_na_{n+3}-a_{n+1}a_{n+2},n\in\mathbb N^{\ast},$$ 于是 $k\in\mathbb N^{\ast}$，而 $$a_6=k+4+\dfrac 2k\in\mathbb N^{\ast},$$ 于是 $k=1$ 或 $k=2$．

情形一     $k=1$．此时

$$a_{n+2}=\begin{cases} 2a_{n+1}-a_n,& n\equiv 1\pmod 2,\\ 3a_{n+1}-a_n,&n\equiv 0\pmod 2,\end{cases}$$ 且 $a_1=a_2=1$，于是 $\{a_n\}$ 中的每一项均为整数．

情形二     $k=2$．此时

$$a_{n+2}=\begin{cases} 2a_{n+1}-a_n,& n\equiv 1\pmod 2,\\ \dfrac 52a_{n+1}-a_n,&n\equiv 0\pmod 2,\end{cases}$$ 且 $a_1=a_2=2$．归纳可得 $2\mid a_{2k-1}$（$k\in\mathbb N^{\ast}$），进而可得 $\{a_n\}$ 中的每一项均为整数． 综上所述，所有符合题意的 $k$ 的值为 $1$ 和 $2$．