已知 $n\in\mathbb N^{\ast}$，记 $n^{{(n+1)}^{n+2}}$ 的末位数字为 $a_n$，则数列 $\{a_n\}$ 的前 $2018$ 项和的末位数字是（ ）
A．$3$
B．$5$
C．$7$
D．$9$
答案 C．
解析 我们熟知\[m^{k+4}\equiv m^k\pmod 4,\]其中 $m,k\in\mathbb N$，而在模 $4$ 的意义下，有\[(n+1)^{n+2}\equiv \begin{cases} 0,&n\equiv 1\pmod 2\\ 1,&n\equiv 0\pmod 2,\end{cases}\]于是 $\{a_n\}$ 是以 $10$ 为周期的数列，且前 $10$ 项为\[1,2,1,4,5,6,1,8,1,0,\]因此数列 $\{a_n\}$ 的前 $2018$ 项和为\[29\cdot 202-1=5857,\]其末位数字为 $7$．
严格说来，$m^{k+4}\equiv m^k\pmod 4$需要$k>1$。