每日一题[1271]抓住指数

已知 $n\in\mathbb N^{\ast}$，记 $n^{{(n+1)}^{n+2}}$ 的末位数字为 $a_n$，则数列 $\{a_n\}$ 的前 $2018$ 项和的末位数字是（       ）

A．$3$

B．$5$

C．$7$

D．$9$

答案    C．

解析    我们熟知 $$m^{k+4}\equiv m^k\pmod 4,$$ 其中 $m,k\in\mathbb N$，而在模 $4$ 的意义下，有 $$(n+1)^{n+2}\equiv \begin{cases} 0,&n\equiv 1\pmod 2\\ 1,&n\equiv 0\pmod 2,\end{cases}$$ 于是 $\{a_n\}$ 是以 $10$ 为周期的数列，且前 $10$ 项为 $$1,2,1,4,5,6,1,8,1,0,$$ 因此数列 $\{a_n\}$ 的前 $2018$ 项和为 $$29\cdot 202-1=5857,$$ 其末位数字为 $7$．