每日一题[1205]双重最值

已知函数 $f(x)=\left(1-x^2\right)\left(x^2+bx+c\right)$，$x\in[-1,1]$，记 $|f(x)|$ 的最大值为 $M(b,c)$，当 $b,c$ 变化时，求 $M(b,c)$ 的最小值．

解    $3-2\sqrt 2$．

猜想 $b=0$ 且此时\[f(x)=\left(1-x^2\right)\left(x^2+c\right)\]的极大值与极小值互为相反数时 $M(b,c)$ 取得最小值．此时\[\left(\dfrac{1+c}2\right)^2+c=0,\]解得\[c=2\sqrt 2-3,\]且对应的\[M\left(0,2\sqrt 2\right)=3-2\sqrt 2.\]接下来进行证明\[\forall b,c\in\mathbb R,\exists x\in [-1,1],|f(x)|\geqslant 3-2\sqrt 2.\]考虑到该情形下极值点为 $x=\pm\sqrt{2-\sqrt 2},0$，于是\[\begin{split} f\left(\sqrt {2-\sqrt 2}\right)&=\left(\sqrt 2-1\right)\left(2-\sqrt 2+\sqrt{2-\sqrt 2}\cdot b+c\right),\\ f\left(-\sqrt {2-\sqrt 2}\right)&=\left(\sqrt 2-1\right)\left(2-\sqrt 2-\sqrt{2-\sqrt 2}\cdot b+c\right),\\ f(0)&=c,\end{split}\]于是\[\dfrac{f\left(\sqrt{2-\sqrt 2}\right)}{3-2\sqrt 2}+\dfrac{f\left(-\sqrt{2-\sqrt 2}\right)}{3-2\sqrt 2}=2\sqrt 2+\left(2\sqrt 2-2\right)\cdot \dfrac{f(0)}{3-2\sqrt 2},\]若\[-1< \dfrac{f(0)}{3-2\sqrt 2}< 1,\]则\[2<\dfrac{f\left(\sqrt{2-\sqrt 2}\right)}{3-2\sqrt 2}+\dfrac{f\left(-\sqrt{2-\sqrt 2}\right)}{3-2\sqrt 2}<4\sqrt 2-2,\]于是必然有\[\max\left\{\dfrac{f\left(\sqrt{2-\sqrt 2}\right)}{3-2\sqrt 2},\dfrac{f\left(-\sqrt{2-\sqrt 2}\right)}{3-2\sqrt 2}\right\}>1,\]因此结论得证． 综上所述，$M(b,c)$ 的最小值为 $3-2\sqrt 2$，当 $(b,c)=\left(0,2\sqrt 2-3\right)$ 时取得．

练习    已知 $a,b\in\mathbb R$，$c$ 是常数，函数 $f(x)=\left|x^2+ax+b\right|$ 在 $[0,c]$ 上的最大值 $M(a,b)$ 的最小值为 $2$，则当 $M(a,b)=2$ 时，$a+b+c=$ _______．

解    $2$．

考虑\[\begin{split} f(0)&=|b|,\\ f\left(\dfrac c2\right)&=\left|\dfrac 14c^2+\dfrac 12ac+b\right|,\\ f(c)&=\left|c^2+ac+b\right|,\end{split}\]由于\[1\cdot b-2\cdot \left(\dfrac 14c^2+\dfrac 12ac+b\right)+1\cdot \left(c^2+ac+b\right)=\dfrac 12c^2,\]于是\[\dfrac 12c^2\leqslant 1\cdot f(0)+2\cdot f\left(\dfrac c2\right)+1\cdot f(c),\]从而\[M(b,c)\geqslant\min\left\{f(0),f\left(\dfrac c2\right),f(c)\right\}\geqslant \dfrac 18c^2,\]等号取得的条件为\[f(0)=f\left(\dfrac c2\right)=f(c),\]也即\[\begin{cases} a=-c,\\ b=\dfrac 18c^2,\end{cases}\]因此根据题意，有 $c=4$，此时 $a=-4$，$b=2$，从而\[a+b+c=2.\]