设 $D$ 为 $\triangle ABC$ 所在平面内一点，三角形 $DBC,DCA,DAB$ 的面积分别记为 $S_1,S_2,S_3$，且 $S_1:S_2:S_3=\tan A:\tan B:\tan C$，$DA=DB=DC=2$，动点 $P,M$ 满足 $AP=1$，$M$ 为 $PC$ 的中点，则 $BM$ 的最小值为_______．
解 $\dfrac 52$．
根据三角形垂心的向量表达，可知 $D$ 为 $\triangle ABC$ 的垂心．又 $DA=DB=DC=2$，因此 $\triangle ABC$ 的外心与内心重合于 $D$，从而 $\triangle ABC$ 为正三角形，其高为 $3$，中心为 $D$． 取 $AC$ 的中点 $N$，则\[BM\geqslant BN-NM=BN-\dfrac 12AP=3-\dfrac 12=\dfrac 52,\]当 $M$ 在线段 $BN$ 上时取得等号，因此所求 $BM$ 的最小值为 $\dfrac 52$．